Question

已知橢圓的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2，
（1）試求橢圓M的方程；
（2）若斜率為的直線l與橢圓M交于C、D兩點，點為橢圓M上一點，記直線PC的斜率為k₁，直線PD的斜率為k₂，試問：k₁+k₂是否為定值？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2，能求出橢圓M的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為：，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立直線l的方程與橢圓方程，得x²+bx+b²-3=0，當△＞0時，即b²-4（b²-3）＞0，直線l與橢圓有兩交點，由韋達定理，得：，由此能夠得到k₁+k₂為定值．
解答：解：∵橢圓的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2，
∴a=2，c=1，b=，
∴橢圓M的方程為．
（2）設(shè)直線l的方程為：，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
聯(lián)立直線l的方程與橢圓方程，得：

①代入②，得：，
化簡，得：x²+bx+b²-3=0，③
當△＞0時，即b²-4（b²-3）＞0，
即|b|＜2時，直線l與橢圓有兩交點，
由韋達定理，得：，
∴=，
=，
∴k₁+k₂=+
=
==0，
∴k₁+k₂為定值．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．