Question

已知點(diǎn)P是雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)是該雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為線段PF的中點(diǎn)，若|OM|=3，則點(diǎn)P到該雙曲線右準(zhǔn)線的距離為（　　）

• A．

  4

  3

• B．

  3

  4

• C．

  3

  2

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：根據(jù)a²-b²=c²求出右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的準(zhǔn)線公式x=

a2

c

求出右準(zhǔn)線方程，然后設(shè)P的坐標(biāo)（x，y），代入到雙曲線方程，由M為PF的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出 |

OM

|，最后聯(lián)立方程得到x，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出P到準(zhǔn)線方程的距離即可．

解答：解：由雙曲線

x2

4

-

y2

5

=1得a=2，b=

5

，
根據(jù)勾股定理得c=3，則右準(zhǔn)線為 x=

4

3

，右焦點(diǎn)F（3，0），
設(shè)P（x，y），P在雙曲線上，
∴

x2

4

-

y2

5

=1①
由點(diǎn)M為PF中點(diǎn)，
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得M（

x+3

2

，

y

2

），
且|

OM

|=3
∴

(x+3)2

4

+

y2

4

=9②
由①②解得：x=

8

3

．
右準(zhǔn)線為 x=

4

3

，則點(diǎn)P到雙曲線右準(zhǔn)線的距離是

8

3

-

4

3

=

4

3

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查學(xué)生掌握雙曲線的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)，會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，同時(shí)也考查學(xué)生掌握向量的運(yùn)用法則及向量模的求法，做題時(shí)要求學(xué)生知識(shí)面要寬，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題．