Question

已知函數(shù)f（x）=

1

ax+1

+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）求f（x）＜

1

4

的解集．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)利用f（0）=0，即可求實數(shù)b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）根據(jù)指數(shù)不等式的解法即可求f（x）＜

1

4

的解集．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

ax+1

+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函數(shù)；
∴f（0）=0，即f（0）=

1

2

+b=0，解得b=-

1

2

．
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增，
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=

1

ax2+1

-

1

ax1+1

=

ax1-ax2

(ax1+1)(ax2+1)

，
∵0＜a＜1，x₁＜x₂，
∴ax1＞ax2，則f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），即函數(shù)單調(diào)遞增；
（3）∵f（x）=

1

ax+1

-

1

2

．
∴由f（x）＜

1

4

得

1

ax+1

-

1

2

＜

1

4

，
即

1

ax+1

＜

3

4

，
即a^x+1＞

4

3

，即a^x＞

1

3

，
∵0＜a＜1，
∴x＜loga

1

3

=-loga3，
即不等式的解集為（-∞，-log_a3）．

點評：本題主要考查主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．