Question

已知函數(shù)f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1-x），則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的解析式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：若x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1-x），
∴當(dāng)-x＞0時(shí)，f（-x）=-x（1+x），
∵函數(shù)f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-x（1+x）=-f（x），
即f（x）=x（1+x），x＜0，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1-x）=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

，此時(shí)函數(shù)的遞增區(qū)間為[0，

1

2

]，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x（1+x）=x²+x=（x+

1

2

）²-

1

4

，此時(shí)函數(shù)的遞增區(qū)間為[-

1

2

，0），
綜上函數(shù)的遞增區(qū)間為[-

1

2

，

1

2

]．
故答案為：[-

1

2

，

1

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的求解，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．