Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x+1，g（x）=2aln（x﹣1）（a∈R）．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）的極值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若存在實(shí)數(shù)k，m使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得h（x）=（x﹣1）2﹣2aln（x﹣1），x＞1，

∴ ，

①當(dāng)a≤0時(shí)，則h'（x）＞0，此時(shí)h（x）無極值；

②當(dāng)a＞0時(shí)，令h'（x）＜0，則 ；令h'（x）＞0，則 ；

∴h（x）在 上遞減，在 上遞增；

∴h（x）有極小值 ，無極大值

（2）解：當(dāng)a＞0時(shí)，有（1）知，h（x）在 上遞減，在 上遞增，且有極小值 ，

①當(dāng)a＞e時(shí)， ，

∴ ，

此時(shí)，不存在實(shí)數(shù)k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立；

②當(dāng)0＜a≤e時(shí)， ，f（x）=x2﹣2x+1在 處的切線方程為 ，

令 ，x＞1，

則 ，

∴ ，

令 = ，x＞1，

則 ，

令v'（x）＜0，則 ；令v'（x）＞0，則 ；

∴ =a（1﹣lna）≥0，

∴ ，

∴ ，

當(dāng) ， 時(shí)，不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，

∴0＜a≤e符合題意；

由①，②得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，e]

【解析】（1）求出h（x），得出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)a分類討論即可；（2）結(jié)合（1）的討論，當(dāng)a＞0時(shí)，有（1）知，h（x）在 上遞減，在 上遞增，且有極小值 ，構(gòu)造函數(shù) ，

， = ，對(duì)參數(shù)a分類討論即可．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．