Question

對于區(qū)間[a，b]（或（a，b）、[a，b）、（a，b]），我們定義|b-a|為該區(qū)間的長度，特別地，[a，+∞）和（-∞，b]的區(qū)間長度為正無窮大．
（1）關(guān)于x的不等式ax²+（2a-1）x-2≤0的解集的區(qū)間長度不小于4，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）關(guān)于x的不等式（x²-2x-24）[x²-（2m+6）x+（m²+6m）]＜0恰好有3個整數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的應用

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：（1）分類討論，利用關(guān)于x的不等式ax²+（2a-1）x-2≤0的解集的區(qū)間長度不小于4，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）不等式（x²-2x-24）[x²-（2m+6）x+（m²+6m）]＜0為（x-6）（x+4）（x-m）（x-m-6）＜0，根據(jù)關(guān)于x的不等式（x²-2x-24）[x²-（2m+6）x+（m²+6m）]＜0恰好有3個整數(shù)解，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）a=0時，解集為[-2，+∞）符合要求；
a＞0時，解集為[-2，

1

a

]，則需

1

a

-（-2）≥4，∴0＜a≤

1

2

；
a＜0時，令

1

a

=-2，∴a=-

1

2

，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，

1

2

]；
（2）不等式（x²-2x-24）[x²-（2m+6）x+（m²+6m）]＜0為（x-6）（x+4）（x-m）（x-m-6）＜0，
∵關(guān)于x的不等式（x²-2x-24）[x²-（2m+6）x+（m²+6m）]＜0恰好有3個整數(shù)解，
∴m=-4或m=0，或-3＜m＜-2，或-2＜m＜-1．

點評：熟練掌握一元二次不等式的解法及其新定義是解題的關(guān)鍵．