Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax（a∈R）．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對任意的a∈（-3，-2），任意的x₁，x₂∈[1，3]，恒有ma+（a-2）ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|
成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知得f′（x）=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

2a(x- 1 2 )(x+ 1 a )

x2

，（x＞0），由此利用分類討論思想和導數(shù)性質能求出f（x）的單調區(qū)間．
（2）若對任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax（a∈R），
∴f′（x）=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

2a(x- 1 2 )(x+ 1 a )

x2

，（x＞0）…（6分）
①當

1

2

=-

1

a

，即a=-2時，f'（x）≤0恒成立，
∴f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）；…（7分）
②當

a＜0 1 2 ＜- 1 a

，即-2＜a＜0時，f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，

1

2

），（-

1

a

，+∞），
f（x）的單調遞增區(qū)間為（

1

2

，-

1

a

）；…（9分）
③當

a＜0 1 2 ＞- 1 a

，即a＜-2時，f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞），
f（x）的單調遞增區(qū)間為（-

1

a

，

1

2

）；…（11分）
④當a≥0時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（

1

2

，+∞），f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，

1

2

）
綜上所述：當a＜-2時，f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞），
f（x）的單調遞增區(qū)間為（-

1

a

，

1

2

）；
當a=-2時，f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當-2＜a＜0時，f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，

1

2

），（-

1

a

，+∞），
f（x）的單調遞增區(qū)間為（

1

2

，-

1

a

）；
當a≥0時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（

1

2

，+∞），f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，

1

2

）．
（2）由（1）可知，當a∈（-3，-2）時，f（x）在區(qū)間[1，3]上單調遞減．
當x=1時，f（x）取最大值；當x=3時，f（x）取最小值；
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3+

1

3

+6a]
=

2

3

-4a+（a-2）ln3，
∵（m+ln3）a-ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，
∴（m+ln3）a-2ln3＞

2

3

-4a+（a-2）ln3
整理得ma＞

2

3

-4a，∵a＜0，∴m＜

2

3a

-4恒成立，
∵-3＜a＜-2，
∴-

13

3

＜

2

3a

-4＜-

38

9

，
∴m≤-

13

3

．

點評：考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、單調性和最值問題，在求函數(shù)的單調區(qū)間時，體現(xiàn)了分類討論的思想方法；恒成立問題，轉化為函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉化的思想．屬難題．