Question

如圖，已知AC，BD是圓O的兩條互相垂直的直徑，直角梯形ABEF所在平面與圓O所在平面互相垂直，其中∠FAB=∠EBA=90°，BE=2，AF=6，AC=4

2

，點(diǎn)N為線(xiàn)段EF中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線(xiàn)NO∥平面EBC；
（Ⅱ）若點(diǎn)M在線(xiàn)段AC上，且點(diǎn)M在平面CEF上的射影為線(xiàn)段NC的中點(diǎn)，請(qǐng)求出線(xiàn)段AM的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）說(shuō)明AF⊥平面ABCD，以點(diǎn)A為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，求出B，C，O，E，F(xiàn)，N的坐標(biāo)，說(shuō)明

AB

=(4，0，0)是平面EBC的法向量，通過(guò)

AB

•

NO

=(4，0，0)•(0，2，-4)=0，證明直線(xiàn)NO∥平面EBC．（Ⅱ）點(diǎn)M在線(xiàn)段AC上，可設(shè)

AM

=λ

AC

=λ(4，4，0)=(4λ，4λ，0)
NC的中點(diǎn)為Q（3，2，2），

MQ

=(3-4λ，2-4λ，2)，利用MQ⊥平面CEF，數(shù)量積為0，求出λ，然后求解線(xiàn)段AM的長(zhǎng)．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)AF⊥AB，且平面ABEF⊥平面ABCD，可知AF⊥平面ABCD
又BD是圓的直徑，AB⊥AD，
因此，以點(diǎn)A為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系如圖
由于AC，BD是圓O的兩條互相垂直的直徑，且AC=4

2

，
所以四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形
則B（4，0，0），C（4，4，0），O（2，2，0），E（4，0，2），F(xiàn)（0，0，6），N（2，0，4）∵AB，⊥EB，AB，⊥BC，∴

AB

=(4，0，0)是平面EBC的法向量∵

NO

=(0，2，-4)，

AB

•

NO

=(4，0，0)•(0，2，-4)=0
所以直線(xiàn)NO∥平面EBC              …（7分）
（Ⅱ）點(diǎn)M在線(xiàn)段AC上，可設(shè)

AM

=λ

AC

=λ(4，4，0)=(4λ，4λ，0)
NC的中點(diǎn)為Q（3，2，2），

MQ

=(3-4λ，2-4λ，2)，
由題設(shè)有MQ⊥平面CEF
∵

EF

=(-4，0，4)，

EC

=(0，4，-2)，
∴

MQ • EF =-4(3-4λ)+8=0 MQ • EC =4(2-4λ)-4=0

解得λ=

1

4

AM

=(4λ，4λ，0)=(1，1，0)，
線(xiàn)段AM的長(zhǎng)為|

AM

|=

2

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，向量的數(shù)量積證明直線(xiàn)與平面平行，直線(xiàn)與平面垂直的應(yīng)用，考查空間兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用．