Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=1，AB=2a（a＞0），E，F(xiàn)分別CD、PB的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAB；，
（Ⅱ）當a=

2

2

時，求AC與平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明：建立空間直角坐標系Dxyz，利用向量垂直證出

EF

⊥

AB

，

EF

⊥

PB

，轉化成線線垂直，可證EF⊥平面PAB
（Ⅱ）先求出

AC

與平面AEF的法向量所成角的余弦值．再求AC與平面AEF所成角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz（如圖），
AD=1，PD=1，AB=2a（a＞0），
則E（a，0，0），C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），F(a，

1

2

，

1

2

)．得

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)，

PB

=(2a，1，-1)，

AB

=(2a，0，0)
由

EF

•

AB

=(0，

1

2

，

1

2

)•(2a，0，0)=0，得

EF

⊥

AB

，即EF⊥AB
同理EF⊥PB，又AB∩PB=B
所以，EF⊥平面PAB
（Ⅱ）解：由a=

2

2

，得E(

2

2

，0，0)，F(

2

2

，

1

2

，

1

2

)，C(

2

，0，0)．
有

AC

=(

2

，-1，0)，

AE

=(

2

2

，-1，0)，

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)
設平面AEF的法向量為n=（x，y，1），由

n• EF =0 n• AE =0

⇒

(x，y，1)•(0 1 2 1 2 )=0 (x，y，1)•( 2 2 ，-1，0)=0

⇒

1 2 y+ 1 2 =0 2 2 x-y=0

，解得

y=-1 x=- 2

．于是n=(-

2

，-1，1)
設AC與面AEF所成的角為θ，

AC

與n的夾角為＜

AC

，n＞．
則sinθ=|cos＜

AC

，n＞|=

| AC •n|

| AC |•|n|

=

|( 2 ，-1，0)•(- 2 ，-1，1)|

2+1+0 2+1+1

=

3

6

．
所以，AC與平面AEF所成角的大小的正弦值為

3

6

點評：本題考查線面位置關系的判定，線面角的求解．利用向量法減少思維量，解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到空間中點、線、面的位置關系，利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關知識解決空間角與空間距離以及線面的位置關系等問題．