【題目】如圖,直三棱柱中,,,,分別為,的中點.
(1)證明:平面;
(2)已知與平面所成的角為30°,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)取中點,連接、,根據(jù)題目條件,利用線面垂直的判定定理,得出平面,由于為中點,,,可證出四邊形為平行四邊形,得出,從而可證出平面;
(2)設,,根據(jù)(1)可知,平面,則到平面距離,設到面距離為,根據(jù)三棱錐等體積法有,得,得,因為與平面所成的角為30°,可求出,結(jié)合線面垂直的判定定理證出平面,進而得出為二面角的平面角,只需求出,即可求出二面角的余弦值.
解:(1)取中點,連接、,
∵∴,
∵平面,平面,
∴,
而平面,平面,
∴平面,
∵為中點,∴,,
∴,,
∴四邊形為平行四邊形,∴.
∴平面.
(2)設,,
則,,,
∴
∴,,
到平面距離,設到面距離為,
由,得,
即,得,
因為與平面所成的角為30°,
所以,
而在直角三角形中,,
所以,解得.
因為平面,平面,
所以,
又平面,平面,所以,
所以平面,
∵平面,平面
所以為二面角的平面角,
而,
可得四邊形是正方形,所以,
則,
所以二面角的余弦值為.
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【題目】【選修4-4:坐標系與參數(shù)方程】
在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為: (為參數(shù), ),將曲線經(jīng)過伸縮變換: 得到曲線.
(1)以原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立坐標系,求的極坐標方程;
(2)若直線(為參數(shù))與相交于兩點,且,求的值.
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【題目】某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品進行出售,當這種產(chǎn)品定價為每噸1000元時,每月可售出產(chǎn)品100噸.當每噸價格每增加20元時,月售出量將會減少1噸.產(chǎn)品每噸生產(chǎn)成本400元,月固定成本為20000元.
(Ⅰ)當產(chǎn)品每噸定價為1200元時,該公司月利潤是多少?
(Ⅱ)當產(chǎn)品每噸定價為多少元時,該公司的月利潤最大?最大月利潤是多少?(利潤=總收入-生產(chǎn)成本-固定成本)
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【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線: (為參數(shù)),在以原點為極點, 軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中,直線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;
(2)過點且與直線平行的直線交于, 兩點,求點到, 兩點的距離之積.
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【題目】如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線和虛線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何休的表面積為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,已知橢圓的長軸為,過點的直線與軸垂直,橢圓的離心率, 為橢圓的左焦點,且.
(Ⅰ)求此橢圓的方程;
(Ⅱ)設是此橢圓上異于的任意一點, , 為垂足,延長到點使得.連接并延長交直線于點, 為的中點,判定直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系.
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