Question

（本小題滿分13分）如圖所示的“8”字形曲線是由兩個關于軸對稱的半圓和一個雙曲線的一部分組成的圖形，其中上半個圓所在圓方程是，雙曲線的左、右頂點、是該圓與軸的交點，雙曲線與半圓相交于與軸平行的直徑的兩端點．

（1）試求雙曲線的標準方程；

（2）記雙曲線的左、右焦點為、，試在“8”字形曲線上求點，使得是直角．

Answer 1

（1）;（2）

都可使得是直角．

【解析】

試題分析：（1）雙曲線的左、右頂點、是該圓與軸的交點，可令，得到雙曲線左、右頂點為、，即，令，得到雙曲線過點，

即．

進而求得雙曲線方程為；

（2）要使是直角，則應使，為此可設點，由（1）得雙曲線的兩個焦點，，由向量數(shù)量積的坐標表示，得

，此時應分兩種情況考慮點的位置：點在雙曲線上，聯(lián)立，點在上半圓上，聯(lián)立解出方程組的解即為點的坐標．試題解析：（1）設雙曲線的方程為，在已知圓的方程中，令，

得，即，則雙曲線左、右頂點為、，于是 2分

令，可得，解得，

即雙曲線過點，則∴． 4分

所以所求雙曲線方程為 6分

（2）由（1）得雙曲線的兩個焦點， 7分

當時，設點，

①點在雙曲線上，得，

由，得由，解得所以 10分

②若點在上半圓上，則，由，

得，由無解 12分

綜上，滿足條件的點有4個，分別為

13分

考點：1、雙曲線的標準方程；2、向量數(shù)量積的坐標表示．