Question

(12分) 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對一切，點(diǎn)都在函數(shù) 的圖象上． (1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2) 將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，求的值；（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，若不等式對一切都成立，求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) ="2010 " （Ⅲ）

(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故，
所以．令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以．由此猜想：．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
① 當(dāng)時(shí)，有上面的求解知，猜想成立．
② 假設(shè)時(shí)猜想成立，即成立，
則當(dāng)時(shí)，注意到，
故，．
兩式相減，得，所以．
由歸納假設(shè)得，，故．
這說明時(shí)，猜想也成立．由①②知，對一切，成立 ．
另解：因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
故，所以①．令，得，所以；
時(shí) ②時(shí)①－②得
令，即與比較可得，解得．因此
又，所以，從而．
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823142031012390.gif" style="vertical-align:middle;" />（），所以數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)， 故 是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20. 同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20. 故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80. 注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，所以 ．又=22，所以=2010.
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823142032588427.gif" style="vertical-align:middle;" />，故，
所以．
又，
故對一切都成立，就是
對一切都成立．……………9分
設(shè)，則只需即可．
由于，
所以，故是單調(diào)遞減，于是．
令即 ，解得，或．
綜上所述，使得所給不等式對一切都成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是