Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點（0，1），離心率e=

3

2

．
（l）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于A，B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為A′（A′與B不重合），則直線A′B與x軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點（0，1）代入橢圓方程求得a和b的關(guān)系，利用離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程求得a和b，則橢圓的方程可得
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，則A′的坐標(biāo)可推斷出，利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進(jìn)而可表示出A′B的直線方程，把y=0代入求得x的表達(dá)式，把x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入求得x=4，進(jìn)而可推斷出直線A′B與x軸交于定點（4，0）．

解答：解：（1）依題意可得

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1．
所以，橢圓C的方程是

x2

4

+y2=1；
（2）由

x2 4 +y2=1 x=my+1

得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則A′（x₁，-y₁）．
且y1+y2=-

2m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

．
經(jīng)過點A′（x₁，-y₁），
B（x₂，y₂）的直線方程為

y+y1

y2+y1

=

x-x1

x2-x1

．
令y=0，則x=

x2-x1

y2+y1

y1+x1=

(x2-x1)y1+x1(y1+y2)

y1+y2

=

x2y1+x1y2

y1+y2

又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．∴當(dāng)y=0時，x=

(my2+1)y1+(my1+1)y2

y1+y2

=

2my1y2+(y1+y2)

y1+y2

=

- 6m m2+4 - 2m m2+4

- 2m m2+4

=4
這說明，直線A′B與x軸交于定點（4，0）．

點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運用．