Question

6．已知f₁（x）=sinx，f_n（x）=f′_n-1（x），n≥2，則$\sum_{i=1}^{2008}{{f_i}（0）=}$0．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到得f_n+4（x）=f_n（x），利用函數(shù)的周期性進(jìn)而可求出答案

解答 解：∵（sinx）′=cosx，（cosx）′=-sinx，（-sinx）′=-cosx，（-cosx）′=sinx，
∴f_n+4（x）=f_n（x），n∈N^*，
即函數(shù)f_n（x）是周期為4的周期函數(shù)，
且f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=sinx+cosx-sinx-cosx=0，
則$\sum_{i=1}^{2008}{{f_i}（0）=}$502（f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x））=502×0=0，
故答案為：0

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，理解三角函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)具有周期性是解決此問題的關(guān)鍵．