Question

已知平面區(qū)域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

被圓C及其內部所覆蓋．
（1）當圓C的面積最小時，求圓C的方程；
（2）若斜率為1的直線l與（1）中的圓C交于不同的兩點A、B，且滿足S△ABC=

5

2

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃,直線的一般式方程,圓的標準方程,直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）作出平面區(qū)域，利用圓C的面積最小時，確定圓心和圓的半徑即可求圓C的方程；
（2）設出直線l的方程，利用直線和圓的位置關系結合S△ABC=

5

2

，建立方程關系，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）作出不等式組對應的平面區(qū)域，由O（0，0），P（4，0），Q（0，2）構成的三角形及其內部，且△OPQ是直角三角形，
由于覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，
∴圓心是Rt△OPQ的斜邊PQ的中點C（2，1），半徑r=|OC|=

22+12

=

5

，
∴圓C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）∵圓C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．
∴設直線l的方程為y=x+b，
則圓心C到直線AB的距離d=

|2-1+b|

2

=

|b+1|

2

，
將直線方程代入圓的方程得
∵BC=

5

，
∴AB=2

BC2-d2

=2

5-( |b+1| 2 )2

=2

5- (b+1) 2 2

，
∵S△ABC=

5

2

，
∴S△ABC=

5

2

=

1

2

•AB•d，
即

1

2

×

|b+1|

2

×2

5- (b+1) 2 2

=

5

2

，
即

|b+1|

2

•

10-(b+1)2 2

=

5

2

，
∴|b+1|•

10-(b+1)2

=5，
即（b+1）²•[10-（b+1）²]=25，
∴（b+1）⁴-10（b+1）²+25=0，
即[（b+1）²-5]²=0，
∴（b+1）²=5，
解得b=-1±

5

，滿足條件，
∴直線l的方程的方程為y=x+(-1±

5

)．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，以及圓的方程的求法，利用直線和圓的位置關系求出相交線AB的長度，結合三角形的面積公式是解決本題的關鍵，運算量較大，綜合性較強．考查學生的運算能力．