Question

已知f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，且y=f（x+3）是偶函數(shù)，則不等式組

m≥0 n≥0 f(2m+n)≤f(4)

所表示的平面區(qū)域的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)y=f（x+3）是偶函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，然后根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，求出不等式f（2m+n）≤f（4）的等價(jià)條件，作出平面區(qū)域，即可求區(qū)域面積．

解答： 解：∵y=f（x+3）是偶函數(shù)，
∴f（-x+3）=f（x+3），即函數(shù)f（x）關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，
∴f（4）=f（2）．
又∵f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在（3，6）上單調(diào)遞增．
對(duì)于不等式f（2m+n）≤f（4）
等價(jià)為f（2）≤f（2m+n）≤f（4），即2≤2m+n≤4，
∴不等式組等價(jià)為

m≥0 n≥0 2≤2m+n≤4

，即

x≥0 y≥0 2x+y≤4 2x+y≥2

，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABCD）：
對(duì)應(yīng)的面積S等于大△OBC的面積加強(qiáng)小△OAD的面積，
即S=

1

2

×4×2-

1

2

×1×2=4-1=3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性，將不等式f（2m+n）≤f（4）進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng)．