Question

已知點A（-

3

，0），B（

3

，0），動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2，點C的軌跡與直線 y=x-2交于D、E兩點，求線段DE的中點坐標及其弦長DE．

Answer 1

分析：利用雙曲線的定義可得點C的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線，由2a=2，2c=2

3

，求得雙曲線的標準方程；把直線 y=x-2代入雙曲線方程化簡可得x₁+x₂=-4，x₁•x₂=6，進而利用弦長公式求得DE．

解答：解：∵|CB|-|CA|=2＜2

3

=|AB|，∴點C的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線，2a=2，2c=2

3

，
∴a=1，c=

3

，∴b=

2

，∴點C的軌跡方程為 x2-

y2

2

=1．
把直線 y=x-2代入 x2-

y2

2

=1化簡可得 x²+4x-6=0，△=16-4（-6）=40＞0，
設D、E兩點的坐標分別為（x₁，y₁ ）、（x₂，y₂），∴x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-6．
∴線段DE的中點坐標為M（-2，4），DE=

1+1

•|x₁-x₂|=

2

•

(x1 +x2)2-4x1 •x2

 
=

2

16-4(-6)

=4

5

．

點評：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)、弦長公式的應用，利用弦長公式是解題的關鍵，屬于基礎題．