Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，平面PCD⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面ABCD，E為線段CD上任意一點（不包括端點）．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠PBC=

π

4

，E為CD的中點，求二面角P-AE-B的正切值；
（Ⅲ）在線段PA上是否存在點H，使得EH∥平面PBC？如果存在，找出點H；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：作圖題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由四邊形ABCD正方形可知BC⊥CD，從而可證明BC⊥平面PCD，進(jìn)而證明BC⊥PC，再證CD⊥PC，由線面垂直判定定理可證明PC⊥平面ABCD．（2）作CF⊥AE，交AE的延長線與點F，連接PF．則∠PFC為二面角P-AE-B的平面角；通過解三角形求正切值；（3）在平面ABCD內(nèi)，過點E作EM∥BC交AB于點M，在平面PAB內(nèi)，過點M作MH∥PB交PA于點H，點H即為所作點．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴BC⊥CD，
又∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴BC⊥平面PCD，而PC⊆平面PCD，∴BC⊥PC，
同理可證：CD⊥PC，
又CD∩BC=C，且CD，BC⊆平面ABCD，
∴PC⊥平面ABCD．
（Ⅱ）作CF⊥AE，交AE的延長線與點F，連接PF．
∵AE⊆平面ABCD，由（Ⅰ）知PC⊥AE，又CF⊥AE，且CF∩PC=C，
∴AE⊥平面PCF，
∵PF⊆平面PCF，∴PF⊥AE，
即∠PFC為二面角P-AE-B的平面角．
設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則CE=a，則AE=

5

a，
而∠CEF=∠AED，∠ADE=∠CFE=

π

2

，
∴△AED∽△CEF，
∴

CF

AD

=

CE

AE

，則CF=

a•2a

5 a

=

2 5

5

a，
∵BC⊥PC，∠PBC=

π

4

，∴PC=2a，
故tan∠PFC=

PC

CF

=

2a

2 5 a 5

=

5

．
（Ⅲ）在平面ABCD內(nèi)，過點E作EM∥BC交AB于點M，
在平面PAB內(nèi)，過點M作MH∥PB交PA于點H，點H即為所作點，證明如下：
∵EM∥BC，EM?平面PBC，BC⊆平面PBC，
∴EM∥平面PBC，同理可證MH∥平面PBC，
又∵EM∩MH=M，EM，MH⊆平面EMH，
∴平面EMH∥平面PBC，而EH⊆平面EMH，
∴EH∥平面PBC，
故在線段PA上存在點H，使得EH∥面PBC．

點評：本題綜合性較強，考查了面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直判定定理，二面角的平面角的作法等，屬于中檔題．