Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且第二項，第五項，第十四項分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項，第三項，第四項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}對任意正整數(shù)n，均有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=a_n+1，求數(shù)列{c_n}的通項公式并計算c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列可得關(guān)于d的方程，解出d，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求得a_n，易求b₂，b₃，從而可得公比，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求得b_n；
（Ⅱ）由

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1，得

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn-1

bn-1

=an（n≥2），兩式相減可求得c_n，注意檢驗n=1時的情形，然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求得答案．

解答：解：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列，可得(a5)2=a2•a14，即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
又等比數(shù)列{b_n}中b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴公比為3，∴bn=3•3n-2=3^n-1，
∴bn=3n-1；
（ II）由

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=an+1，得

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn-1

bn-1

=an（n≥2），
兩式相減得：

cn

bn

=a_n+1-a_n=2，
∴c_n=2b_n=2•3^n-1，n≥2，
n=1時，c₁=a₂•b₁=3，
∴cn=

3 2•3n-1

，
∴c1+c2+c3+…+c2012=3+2(3+32+…+32011)
=3+2×

3(1-32011)

1-3

=3²⁰¹²．

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列求和，屬中檔題，熟記相關(guān)公式是解決問題的基礎(chǔ)．