Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-kx，．
（Ⅰ）若k＞0，且對于任意x∈R，f（|x|＞0）恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）設函數(shù)F（x）=f（x）+f（-x），求證：lnF（1）+lnF（2）+…+lnF（n）＞

n

2

ln（eⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先說明函數(shù)f（|-x|）是偶函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為f（x）＞0對任意x≥0成立，求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，分k的范圍求出函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的最小值，由最小值大于0求得k的取值范圍；
（Ⅱ）首先判斷出F（x）＞0恒成立，然后由lnF（x₁）+lnF（x₂）＞ln（eⁿ⁺¹+2），分別得到lnF（1）+lnF（n）＞ln（eⁿ⁺¹+2），lnF（2）+lnF（n-1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），…，lnF（n）+lnF（1）＞ln（eⁿ⁺¹+2）．累加后即可證得結論．

解答：解：（Ⅰ）由f（|-x|）=f（|x|），可知f（|x|）是偶函數(shù)．
于是f（|x|）＞0對任意x∈R成立等價于f（x）＞0對任意x≥0成立．
由f′（x）=e^x-k=0，得x=lnk．
①當k∈（0，1]時，f′（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．
此時f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合題意．
②當k∈（1，+∞）時，lnk＞0．
當x變化時f′（x），f（x）的變化情況如表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依題意，k-klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．
綜合①，②得，實數(shù)k的取值范圍是0＜k＜e．        
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x＞0，
∴l(xiāng)nF（x₁）+lnF（x₂）=ln[（ex1+e-x1）（ex2+e-x2）]，
又（ex1+e-x1）（ex2+e-x2）    
=ex1+x2+e-(x1+x2)+ex1-x2+e-x1+x2＞ex1+x2+e-(x1+x2)+2＞ex1+x2+2，
∴l(xiāng)nF（1）+lnF（n）＞ln（eⁿ⁺¹+2），
lnF（2）+lnF（n-1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），
…
lnF（n）+lnF（1）＞ln（eⁿ⁺¹+2）．
由此得：2[F（1）+F（2）+…+F（n）]
=[F（1）+F（n）]+[F（2）+F（n-1）]+…+[F（n）+F（1）]＞nln（eⁿ⁺¹+2），
故lnF（1）+lnF（2）+…+lnF（n）＞

n

2

ln（eⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）成立．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了函數(shù)恒成立問題，訓練了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，考查了累加法求數(shù)列的和，屬高考試卷中的壓軸題．