(2012•張掖模擬)已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2+(ae-4)x+2lnx,g(x)=ax(2-lnx)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù),常數(shù)a≠0).
(1)若對任意x>0,g(x)≤1恒成立,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)a取最大值時(shí),試討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[
1
e
,e]上的單調(diào)性;
(3)求證:對任意的n∈N*,不等式ln
2n
n!
1
12
n3-
5
8
n2+
31
24
n
成立.
分析:(1)由題意,ax(2-lnx)≤1對任意x>0恒成立,即x(2-lnx)≤
1
a
對任意x>0恒成立,確定左邊的最大值,即可求得正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可得到函數(shù)的單調(diào)性;
(3)先證明x2-6x+8≥-4lnx+4ln2,從而k2-6k+8≥-4lnk+4ln2,對任意k∈N+成立,疊加,即可證得結(jié)論.
解答:(1)解:由題意,ax(2-lnx)≤1對任意x>0恒成立,即x(2-lnx)≤
1
a
對任意x>0恒成立
令h(x)=x(2-lnx),則h′(x)=1-lnx>0 得0<x<e
故h(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(e,+∞)上單調(diào)遞減,-----------------------(2分)
∴h(x)max=h(e)=e,∴e≤
1
a
,∴0<a≤
1
e

故所求正實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,
1
e
].---------(1分)
(2)解:由(1)知a=
1
e
,此時(shí)f(x)=
1
2
x2-3x+2lnx,f′(x)=
x2-3x+2
x
>0
得x<1或x>2,
故f(x)在區(qū)間(
1
e
,1),(2,e)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減.----------(3分)
(3)證明:由(2)知f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增,
故當(dāng)x≥1時(shí),
1
2
x2-3x+2lnx≥2ln2-4,即x2-6x+8≥-4lnx+4ln2.
從而k2-6k+8≥-4lnk+4ln2,對任意k∈N+成立.----------------------------(2分)
于是
n
k=1
(k2-6k+8)≥
n
k=1
(-4lnk+4ln2),
n(n+1)(2n+1)
6
-
6n(n+1)
2
+8n
>-4lnn!+8n>-4lnn!+4nln2
2n3-15n2-17n
6
+8n>4ln
2n
n!

即ln
2n
n!
1
12
n3-
5
8
n2+
31
24
n
成立-------------(4分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查恒成立問題,考查不等式的證明,正確求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•張掖模擬)在2010年某大學(xué)的小語種提前招生考試中,某中學(xué)共獲得了5個(gè)推薦名額,其中俄語2名,日語2名,西班牙語1名,并且日語和俄語都要求必須有男生參加考試.學(xué)校通過選拔定下3男2女五個(gè)推薦對象,則不同的推薦方案共有(  )種.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•張掖模擬)二項(xiàng)式(2
x
-
1
x
)6
展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是
-192
-192

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•張掖模擬)函數(shù)f(x)=x2+bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•張掖模擬)已知函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=2x+1(x>0)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•張掖模擬)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S1008=4+S1004,則S2012的值為( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案