Question

14．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，其中點P（1，2）為函數(shù)圖象的一個最高點，Q（4，0）為函數(shù)圖象與x軸的一個交點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移2個單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）圖象的對稱中心．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得振幅A，周期T，利用周期公式可求ω，將點P（1，2）代入解析式，結(jié)合范圍0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，即可得解函數(shù)解析式．
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的圖象變換可得g（x）=2sin$\frac{π}{6}$x，利用三角函數(shù)恒等變換可求h（x）=1+2sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$），由$\frac{π}{3}x-\frac{π}{6}=kπ$，即可得解對稱中心．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）由題意得振幅A=2，周期T=4×（4-1）=12，
又$\frac{2π}{ω}$=12，則ω=$\frac{π}{6}$…（2分）
將點P（1，2）代入f（x）=2sin（$\frac{π}{6}$x+φ），得sin（$\frac{π}{6}$x+φ）=1，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，…（4分）
故f（x）=2sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{3}$）…（5分）
（Ⅱ）由題意可得g（x）=2sin[$\frac{π}{6}$（x-2）+$\frac{π}{3}$]=2sin$\frac{π}{6}$x…（7分）
∴h（x）=f（x）•g（x）=4sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{3}$）•sin$\frac{π}{6}$x=2sin²$\frac{π}{6}$x+2$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{6}$x•cos$\frac{π}{6}$x=1-cos$\frac{π}{3}$x+$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$x
=1+2sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）…（10分）
由$\frac{π}{3}x-\frac{π}{6}=kπ$，得：$x=3k+\frac{1}{2}（k∈Z）$．
∴y=h（x）圖象的對稱中心為：$（3k+\frac{1}{2}，1）（k∈Z）$…（12分）

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．