Question

5．已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，N，M分別是PC，AB的中點，MN⊥PC，MN⊥AB，AC：MN=2：$\sqrt{3}$．
（1）求證：平面PAD⊥平面PDC；
（2）求異面直線MN，AC所成的角．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點H，連接MH，AH，運用中位線定理證得四邊形MNAH為平行四邊形，即有MN∥AH，再由線面垂直的性質和判定，以及面面垂直的判定定理，即可得證；
（2）由MN∥AH，可得∠HAC或補角即為異面直線MN，AC所成的角．通過解直角三角形，即可得到所求角的度數(shù)．

解答 （1）證明：取PD的中點H，連接MH，AH，
由中位線定理，可得MH∥CD，且MH=$\frac{1}{2}$CD，
又AN∥CD，且AN=$\frac{1}{2}$CD，
即有MH∥AN，且MH=AN，
可得四邊形MNAH為平行四邊形，
即有MN∥AH，
由MN⊥AB，MN⊥PC，
可得MN⊥CD，
即有MN⊥平面PCD，
則有AH⊥平面PCD，
又AH?平面PAD，
則有平面PAD⊥平面PCD；
（2）解：由MN∥AH，
可得∠HAC或補角即為異面直線MN，AC所成的角．
由AH⊥平面PCD，連接CH，
CH?平面PCD，即有AH⊥CH，
在直角△AHC中，cos∠HAC=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{MN}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有∠HAC=30°．
故異面直線MN，AC所成的角為30°．

點評 本題考查面面垂直的判定，注意運用線面垂直的性質和判定，同時考查異面直線所成角的求法，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．