Question

20．用向量的方法證明三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)．

Answer 1

分析 作△ABC，AD是∠BAC的平分線，從而來(lái)證$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，AD為角平分線，從而有$\overrightarrow{AD}=\frac{λ}{|\overrightarrow{AB|}}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{|\overrightarrow{AC}|}\overrightarrow{AC}$，而由B，D，C三點(diǎn)共線便可得到$\overrightarrow{BD}=μ\overrightarrow{BC}$，從而可以得到$\overrightarrow{AD}=（1-μ）\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，從而根據(jù)平面向量基本定理便可得出$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{μ}{1-μ}$，而根據(jù)$\overrightarrow{BD}=μ\overrightarrow{BC}$又可以求得$\frac{μ}{1-μ}=\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{AC}|}$，從而角平分線的性質(zhì)得證．

解答 證明：如圖，已知△ABC角平分線為AD，下面來(lái)用向量證明$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$；
∵AD為角平分線；
∴存在λ，使$\overrightarrow{AD}=λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}）$=$\frac{λ}{|\overrightarrow{AB}|}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{|\overrightarrow{AC}|}\overrightarrow{AC}$①；
B，D，C三點(diǎn)共線；
∴存在μ，使$\overrightarrow{BD}=μ\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=μ（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AD}=（1-μ）\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$②；
∴由①②根據(jù)平面向量基本定理得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{|\overrightarrow{AB}|}=1-μ}\\{\frac{λ}{|\overrightarrow{AC}|}=μ}\end{array}\right.$；
∴$\frac{\frac{λ}{|\overrightarrow{AC}|}}{\frac{λ}{|\overrightarrow{AB}|}}=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{μ}{1-μ}$；
$\overrightarrow{BD}=μ\overrightarrow{BC}$，∴$\overrightarrow{DC}=（1-μ）\overrightarrow{BC}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{DC}|}=\frac{μ}{1-μ}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{|\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{DC}|}$；
即$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，向量數(shù)乘的幾何意義，以及平面向量基本定理，要清楚角平分線的性質(zhì)．