Question

已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心．
（1）求證：三棱錐S-ABC為正三棱錐．
（2）若二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=2

3

，求三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)BH交SC于E，連接AE，根據(jù)三垂線定理，結(jié)合BE⊥SC，得到AB⊥SC．再作出SO⊥平面ABC，結(jié)合三垂線定理的逆定理，得到CO⊥AB，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以S在底面△ABC的射影O是正
△ABC的中心，最終得到三棱錐S-ABC為正三棱錐；
（2）延長(zhǎng)CO交AB于F，連接EF，根據(jù)三垂線定理結(jié)合CF⊥AB，得到EF⊥AB，從而∠EFC即為二面角H-AB-C的平面角，從而在Rt△SOC中，∠ECF=90°-30°=60°，根據(jù)SC長(zhǎng)結(jié)合三角函數(shù)的定義得到SO、CO的長(zhǎng)，最后得到底面邊長(zhǎng)AB=3，求出底面三角形的面積，利用錐體體積公式可求出三棱錐S-ABC的體積．

解答：證明：（1）如圖，AH⊥面SBC，設(shè)BH交SC于E，連接AE
∵H是△SBC的垂心
∴BE⊥SC，
∵AH⊥平面SBC，SC⊆平面SBC
∴AH⊥SC，結(jié)合BE∩AH=H
∴SC⊥平面ABE，
∵AB⊆平面ABE，
∴AB⊥SC
設(shè)S在底面ABC內(nèi)的射影為O，則SO⊥平面ABC，
∵AB⊆平面ABC
∴AB⊥SO，結(jié)合SC∩SO=S
∴AB⊥平面SCO，
∵CO⊆平面SCO
∴CO⊥AB，同理BO⊥AC，
可得O是△ABC的垂心
∵△ABC是正三角形
∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心
∴三棱錐S-ABC為正三棱錐．…（6分）
（2）由（1）有SA=SB=SC=2

3

，
延長(zhǎng)CO交AB于F，連接EF
∵CF⊥AB，CF是EF在面ABC內(nèi)的射影，
∴EF⊥AB，
∴∠EFC為二面角H-AB-C的平面角，∠EFC=30°，
∵SC⊥平面ABE，EF⊆平面ABE，
∴EF⊥SC，Rt△EFC中，∠ECF=60°，
可得Rt△SOC中，OC=SCcos60°=

3

，
SO=SCsin60°=3，
∴正三角形ABC中，AB=

3

OC=3，
S△ABC=

3

4

•32=

9 3

4

∴VS-ABC=

1

3

S△ABC•SO=

9 3

4

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)正三棱錐的證明與計(jì)算為載體，考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、三垂線定理及其逆定理和二面角的平面角等知識(shí)，屬于中檔題．