Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且4S_n+3=a_n²+2a_n．
（Ⅰ）當(dāng)n≥7時，a＞0恒成立，求證：數(shù)列{a_n}從第7項起，成等差數(shù)列；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若數(shù)列{a_n}的前7項為等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的前7項和S₇．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用4S_n=a_n²+2a_n-3，再寫一式，兩式相減，利用當(dāng)n≥7時，a_n＞0，即可得出{a_n}成等差數(shù)列；
（Ⅱ）確定首項，公比，即可求{a_n}的前7項和S₇．

解答 （Ⅰ）證明：由4S_n=a_n²+2a_n-3，4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，
兩式相減整理得，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0…（4分）
當(dāng)n≥7時，a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
∴當(dāng)n≥7時，{a_n}成等差數(shù)列．      
（Ⅱ）解：由4S₁=a₁²+2a₁-3，得a₁=3或a₁=-1
又a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₇成等比數(shù)列，
∴a_n+1+a_n=0（n≤6），q=-1，
而a₇＞0，∴a₁＞0，從而a₁=3．
∴S₇=3-3+3-3+3-3+3=3．…．（14分）

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列遞推式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．