Question

9．如圖，在△AOC中，∠O=90°，∠C=30°，B是邊OA上一點(diǎn)，D是邊OC上一動(dòng)點(diǎn)，且當(dāng)CD=100（$\sqrt{3}$-1）時(shí)，∠ADO=45°
（1）求OA的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)AB=52，tan∠ADB=$\frac{13\sqrt{3}}{60}$時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）△AOD中，利用正弦定理，求出AD，在△AOC中求OA的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)AB=52，tan∠ADB=$\frac{13\sqrt{3}}{60}$時(shí)，利用差角的正切公式，即可求CD的長(zhǎng)．

解答 解：（1）△AOD中，$\frac{AD}{sin30°}=\frac{100（\sqrt{3}-1）}{sin15°}$，∴AD=100$\sqrt{2}$，
∵△AOC中，∠O=90°，∠ADO=45°
∴OA=100；
（2）設(shè)OD=x，AC=200，OC=100$\sqrt{3}$，
tan∠BDO=$\frac{48}{x}$，tan∠ADO=$\frac{100}{x}$，
∴tan∠ADB=tan（∠ADO-∠BDO）=$\frac{\frac{100}{x}-\frac{48}{x}}{1+\frac{4800}{{x}^{2}}}$=$\frac{13\sqrt{3}}{60}$，
∴x=40$\sqrt{3}$，
∴CD=OC-OD=60$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查差角的正切公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．