精英家教網(wǎng)如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4
2
，點E，F(xiàn)分別是PC，PA的中點，求二面角A-BE-F的余弦值．
分析：以BP所在直線為z軸，BC所在直線y軸，建立空間直角坐標系，求出平面BEF的一個法向量
n1
=(0，1，-1)，
平面ABE的一個法向量
n2
=(x，y，z)，利用cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|n1
||
n2
|
求出二面角A-BE-F的余弦值．
解答：精英家教網(wǎng)解：如圖，以BP所在直線為z軸，
BC所在直線y軸，建立空間直角坐標系，
則B(0，0，0)，A(4
2
，4
2
，0)，C(0，4
2
，0)，P(0，0，4
2
)，E(0，2
2
，2
2
)，F(xiàn)(2
2
，2
2
，2
2
)
∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC，
又AC⊥CB，∴AC⊥平面PBC，
∴AC⊥PC，∴EF⊥PC，
又BE⊥PC，∴PC⊥平面BEF．
而
PC
=(0，4
2
，-4
2
)，
所以平面BEF的一個法向量
n1
=(0，1，-1)，（4分）
設(shè)平面ABE的一個法向量
n2
=(x，y，z)，
則
n2
•
BE
=2
2
y+2
2
z=0
n2
•
BA
=4
2
x+4
2
y=0
，則x：y：z=1：-1：1
取x=1，則平面AEF的一個法向量
n2
=(1，-1，1)（8分）
∴cos＜
n1
，
n2
＞=
-
6
3
，
∴二面角A-BE-F的平面角的余弦值為
6
3
（10分）
點評：本題考查空間線面關(guān)系、二面角的度量，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的大小的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•石景山區(qū)一模）如圖，三棱錐P-ABC中，
PA
•
AB
=
PA
•
AC
=
AB
•
AC
=0，
PA
2=
AC
2=4
AB
2．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M為線段PC上的點，設(shè)
|
PM|
|PC
|
=λ，問λ為何值時能使直線PC⊥平面MAB；
（Ⅲ）求二面角C-PB-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）如圖，三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=2
2
．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E為側(cè)棱PB的中點，求直線AE與底面ABC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•德陽二模）如圖，三棱錐P-ABC中，PA丄面ABC，∠ABC=90°，PA=AB=1，BC=2，則P-ABC的外接球的表面積為
6π
6π
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖在三棱錐P-ABC中，AB⊥PC，AC=2，BC=4，AB=2
3
，∠PCA=30°．
（1）求證：AB⊥平面PAC． （2）設(shè)二面角A-PC-B•的大小為θ•，求tanθ•的值．

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