Question

15．若定義域為R的函數f（x）滿足：對于任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2016，且x＞0時，有f（x）＞2016，f（x）在區(qū)間[-2016，2016]的最大值，最小值分別為M、N，則M+N的值為（　�。�

• A． 2015
• B． 2016
• C． 4030
• D． 4032

Answer 1

分析 根據：對于任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2016，得出f（0）=2016，f（x）+f（-x）=4032，x∈[-2016，2016]恒成立，可判斷f（x）的圖象關于（0，2016）對稱，運用函數圖象的特殊性可以判斷出答案．

解答 解：∵對于任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，
都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2016，
∴f（x₂-x₁）＞2016，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）-2016
=f（x₂-x₁）-2016＞0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上單調遞增，
∴M=f（2016），N=f（-2016），
∵對于任意的x₁，x₂∈[-2016，2016]，
∴f（0）=2f（0）-2016，即f（0）=2016，
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）-20126
即f（x）+f（-x）-2016=f（0），
f（x）+f（-x）=4032
∴M+N的值為4032，
故選：D．

點評 本題主要考查了抽象函數及其應用，涉及到抽象函數的構造和奇偶性的判斷和證明，函數最值之間的關系，屬于中檔題．