已知函數(shù)f（x）=
1+lnx
x
（x≥1）．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說明理由；
（Ⅱ）若f（x）≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（I）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=-
lnx
x2

∵x≥1，∴l(xiāng)nx≥0，∴f′（x）≤0
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減；
（II）f（x）≥
k
x+1
恒成立，即
(x+1)(1+lnx)
x
≥k恒成立，
記g（x）=
(x+1)(1+lnx)
x
，則g′（x）=
x-lnx
x2

再令h（x）=x-lnx，則h′（x）=1-
1
x

∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，從而g′（x）＞0  
故g（x）在[1，+∞）上也單調(diào)遞增
∴[g（x）]min=g（1）=2
∴k≤2．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，則f[f（π）]=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證對任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），滿足f（9）=3，則f-1（log92）的值是（　�。�

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