Question

圓c：x²+（y-1）²=1和圓c₁：（x-2）²+（y-1）²=1，現(xiàn)構(gòu)造一系列的圓c₂，c₃，…，c_n，…，使圓c_n+1同時(shí)與圓c_n和圓c相切，并且都與x軸相切．
①寫出圓c_n-1的半徑r_n-1與圓c_n的半徑r_n之間關(guān)系式，并求出圓c_n的半徑；
②（理科做）設(shè)兩個(gè)相鄰圓c_n和c_n+1的外公切線長(zhǎng)為l_n，求

lim

n→∞

(l1+l2+…+ln)．
（文科做）求l₁+l₂+…+l_n．

Answer 1

分析：（1）圓c_n+1同時(shí)與圓c_n和圓c相切，并且都與x軸相切，故可得出兩個(gè)方程，化簡(jiǎn)可得圓c_n-1的半徑r_n-1與圓c_n的半徑r_n之間關(guān)系式，從而求出圓c_n的半徑；
（2）由（1）知圓心坐標(biāo)，再求外公切線長(zhǎng)，利用裂項(xiàng)法可求和．

解答：解：（1）由題意，c₁（2，1），r₁=1，設(shè)c_n（x_n，r_n），c_n-1（x_n-1，r_n-1），則有xn=2 

rn

，xn-xn-1=-2

rnrn-1

，即

1

rn

-

1

rn-1

=1∴

1

rn

=n，從而有rn=

1

n2

；
（2）（理科）由（1）知，cn(

2

n

，  

1

n2

)，cn-1(

2

n-1

，

1

(n-1)2

)，∴ln=

2

n(n+1)

，
∴l1+l2+…+ln=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

，∴

lim

n→∞

(l1+l2+…+ln)=2．
（文科）由（1）知，cn(

2

n

，  

1

n2

)，cn-1(

2

n-1

，

1

(n-1)2

)，∴ln=

2

n(n+1)

，
∴l1+l2+…+ln=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與圓相切，應(yīng)充分利用兩圓外切的條件，進(jìn)行等價(jià)變形，對(duì)于求和利用裂項(xiàng)法．