Question

已知m∈R，函數(shù)f（x）=m（x²-1）+x-a．
（1）f（x）恒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分類討論，利用f（x）恒有零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）分類討論，結(jié)合f（x）在（2，+∞）上單調(diào)，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x-a是一次函數(shù)，它的圖象恒與x軸相交，此時(shí)a∈R…..（2分）
當(dāng)m≠0時(shí)，由題意知，方程mx²+x-（m+a）=0恒有兩實(shí)數(shù)解，
其充要條件是△=1+4m（m+a）=4m²+4am+1≥0…..（4分）
又只需△′=（4a）²-16≤0，解得-1≤a≤1，即a∈[-1，1]…..（6分）
∴當(dāng)m=0時(shí)，a∈R；當(dāng)m≠0時(shí)，a∈[-1，1]…（7分）
（2）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=x是一次函數(shù)，滿足在x∈（2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．…（9分）
當(dāng)m≠0時(shí)，要使f（x）在x∈（2，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，只須

m＞0 - 1 2m ≤2

或

m＜0 - 1 2m ≤2

，
解得m≥0或m≤-

1

4

…（13分）
綜上得，滿足條件的m的取值范圍是{m|m≥0或m≤-

1

4

}…（14分）

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．