已知，點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足
3
x-y＜0
x-
3
y+2＜0
y≥0
，則
3
x+y
x2+y2
的取值范圍為
[-
3
，
3
）
[-
3
，
3
）
．
分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，P（x，y）為內(nèi)部一點(diǎn)，設(shè)A（
3
2
，
1
2
），可得向量
OA
、
OP
的夾角θ∈（
π
6
，
5π
6
]，由向量的夾角公式可得
3
x+y
x2+y2
=2cosθ，由此結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到本題的答案．
解答：解：作出不等式組
3
x-y＜0
x-
3
y+2＜0
y≥0
表示的平面區(qū)域，
得到如圖的平面區(qū)域，其中B（-2，0），C（1，
3
）
設(shè)A（
3
2
，
1
2
），P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個動點(diǎn)，向量
OA
、
OP
的夾角為θ
∵|
OP
|=
x2+y2
，
OA
•
OP
=
3
2
x+
1
2
y
∴cosθ=
OA
•
OP
|
OA
|•|
OP
|
=
3
2
x+
1
2
y
(
3
2
)2+(
1
2
)2
•
x2+y2
=
1
2
×
3
x+y
x2+y2

∵當(dāng)P運(yùn)動到C點(diǎn)時，θ達(dá)到最小值；P運(yùn)動到與x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)重合時，θ達(dá)到最大值
∴∠AOC＜θ≤∠AOB，由直線OA、OC的傾斜角分別為
π
6
、
π
3
，可得θ∈（
π
6
，
5π
6
]
由此可得：-
3
2
≤cosθ＜
3
2
，即-
3
2
≤
1
2
×
3
x+y
x2+y2
＜
3
2

∴-
3
≤
3
x+y
x2+y2
＜
3
，即
3
x+y
x2+y2
的取值范圍為[-
3
，
3
）
故答案為：[-
3
，
3
）
點(diǎn)評：本題給出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，求式子
3
x+y
x2+y2
的取值范圍，著重考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、向量的夾角公式和簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方與它到直線l：x=m（m是常數(shù)）的距離相等．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程C；
（2）就m的不同取值討論方程C的圖形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到定直線x=-2的距離小1．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）在軌跡C上是否存在兩點(diǎn)M、N，使這兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=kx+3對稱，若存在，試求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•延慶縣一模）已知動點(diǎn)P（x，y）與一定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到一定直線l：x=4的距離之比為
12
．
（Ⅰ） 求動點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知直線l'：x=my+1交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A、B分別作直線l：x=4的垂線，垂足依次為點(diǎn)D、E．連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動點(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的形狀；
（2）試根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C的形狀；
（3）當(dāng)λ=-2時，過E（1，0）作兩條互相垂直直線l1、l2，且分別與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，探究直線AB是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說明理由．

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