Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx（a≠0）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為-6，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的最小值為-12．
（1）求a，b的值．
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f'（x）的最小值求出b的值，最后依據(jù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率求出c的值即可；
（2）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0，求得區(qū)間即為單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx，f'（x）=3ax²+b
∵f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線切線斜率為-6，
∴f′（1）=-6，即3a+b=-6 …①
又∵導(dǎo)函數(shù)f'（x）的最小值為-12，∴a＞0且b=-12 …②
由①②解出  a=2，b=-12，∴f（x）=2x³-12x                 …（6分）
（2）∵f′（x）=6x²-12=6（x+

2

）（x-

2

）
∴令f′（x）＞0，得x∈（-∞，-

2

）∪（

2

，+∞）．
∴f函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，-

2

），（

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理能力和運(yùn)算能力．