Question

13．已知橢圓的一個焦點為F（6，0），點B₁，B₂是短軸的兩端點，△FB₁B₂是等邊三角形，求這個橢圓的標準方程．

Answer 1

分析 設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．c=6．根據(jù)△FB₁B₂是等邊三角形，可得b=$\sqrt{3}$c，a=2c．即可得出．

解答 解：設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
c=6．
∵△FB₁B₂是等邊三角形，
∴b=$\sqrt{3}$c=6$\sqrt{3}$，a=2c=12．
∴這個橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{144}+\frac{{y}^{2}}{108}=1$．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．