Question

①設(shè)x，y∈R⁺，且x+y+xy=2，求x+y的最小值．
②設(shè)x≥0，y≥0，且x²+y²=4，求xy-4（x+y）-2的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)均值不等式可知xy≤

(x+y)2

4

，代入x+y+xy=2中，得到關(guān)于x+y的一元二次不等式進(jìn)去求得x+y的最小值．
（2）先根據(jù)x²+y²=4和xy=

(x+y)2-4

2

求出x+y的范圍，進(jìn)而把xy=

(x+y)2-4

2

代入xy-4（x+y）-2中，設(shè)x+y=t則有f（t）=

1

2

t²-4t-4，進(jìn)而根據(jù)t的范圍求得xy-4（x+y）-2的最小值．

解答：解：①∵x，y∈R⁺，
∴xy≤

(x+y)2

4

（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立）
∵x+y+xy=2，
∴xy=2-（x+y）
∴2-（x+y）≤

(x+y)2

4

解得x+y≥2

3

-2或x+y≤-2-2

3

（舍去）
∴x+y的最小值為2

3

-2
②∵x²+y²=（x+y）²-2xy=4
∴xy=

(x+y)2-4

2

≤

(x+y)2

4

（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立．）
∴x+y≤8
設(shè)x+y=t則有f（t）=

1

2

t²-4t-4，函數(shù)為開口向上，對(duì)稱軸為t=4的拋物線
∵t≤8
∴f（t）≥f（4）=-12
故xy-4（x+y）-2的最小值為-12

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．涉及了不等式和函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，有較強(qiáng)的綜合性．