Question

已知a∈R，函數(shù)．
（1）求f（1）的值；    
（2）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；     
（3）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)解析式，令x=1求得f（1）的值．
（2）先在（0，+∞）上任取兩變量，且界定大小，再作差變形看符號(hào)．
（3）要求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，即求方程f（x）=0的根，根據(jù)對(duì)實(shí)數(shù)的討論即可求得結(jié)果．
解答：解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，，
∴．…（2分）
（2）證明：在（0，+∞）上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且，…（3分）
則…（4分）
==．…（5分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0．
∴，即f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．…（7分）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（8分）
（3）（ⅰ）當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=0，即，解得x=1＞0．
∴x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)．…（9分）
（ⅱ）當(dāng)x≤0時(shí)，令f（x）=0，即（a-1）x+1=0．（※）
當(dāng)a＞1時(shí)，由（※）得，
∴是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)；    …（11分）
當(dāng)a=1時(shí)，方程（※）無(wú)解；
當(dāng)a＜1時(shí)，由（※）得，（不合題意，舍去）．…（13分）
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是1和；  當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是1．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力．