Question

已知函數(shù)，其中a是實數(shù)，設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數(shù)圖象上的點，且x₁＜x₂．
（I）指出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（II）若函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值；
（III）若函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用二次函數(shù)的單調性和對數(shù)函數(shù)的單調性即可得出；
（II）利用導數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，因為切線互相垂直，可得，即（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．可得，再利用基本不等式的性質即可得出；
（III）當x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂時，∵，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．分別寫出切線的方程，根據兩條直線重合的充要條件即可得出，再利用導數(shù)即可得出．．
解答：解：（I）當x＜0時，f（x）=（x+1）²+a，
∴f（x）在（-∞，-1）上單調遞減，在（-1，0）上單調遞增；
當x＞0時，f（x）=lnx，在（0，+∞）單調遞增．
（II）∵x₁＜x₂＜0，∴f（x）=x²+2x+a，∴f^′（x）=2x+2，
∴函數(shù)f（x）在點A，B處的切線的斜率分別為f^′（x₁），f^′（x₂），
∵函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，
∴，
∴（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．
∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴=1，當且僅當-（2x₁+2）=2x₂+2=1，即，時等號成立．
∴函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值為1．
（III）當x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂時，∵，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．
當x₁＜0時，函數(shù)f（x）在點A（x₁，f（x₁）），處的切線方程為
，即．
當x₂＞0時，函數(shù)f（x）在點B（x₂，f（x₂））處的切線方程為，即．
函數(shù)f（x）的圖象在點A，B處的切線重合的充要條件是，
由①及x₁＜0＜x₂可得-1＜x₁＜0，
由①②得=．
∵函數(shù)，y=-ln（2x₁+2）在區(qū)間（-1，0）上單調遞減，
∴a（x₁）=在（-1，0）上單調遞減，且x₁→-1時，ln（2x₁+2）→-∞，即-ln（2x₁+2）→+∞，也即a（x₁）→+∞．
x₁→0，a（x₁）→-1-ln2．
∴a的取值范圍是（-1-ln2，+∞）．
點評：本題主要考查了基本函數(shù)的性質、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、導數(shù)的幾何意義、基本不等式的性質、直線的位置關系等基礎知識，考查了推理論證能力、運算能力、創(chuàng)新意識，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉化與化歸等思想方法．