Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*）．
（1）求通項(xiàng)a_n；
（2）若a₁+a₂+…+a_n＞$\frac{15}{8}$，求n的取值范圍；
（3）求a_n+1+a_n+2+…+a_2n（用n表示）．

Answer 1

分析 （1）易知數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；
（2）a₁+a₂+…+a_n＞$\frac{15}{8}$等價(jià)于S_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＞$\frac{15}{8}$，解不等式即可；
（3）利用a_n+1+a_n+2+…+a_2n=S_2n-S_n，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴通項(xiàng)a_n=1•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（2）∵a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∵a₁+a₂+…+a_n＞$\frac{15}{8}$，
∴2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＞$\frac{15}{8}$，
解得：n＞4；
（3）a_n+1+a_n+2+…+a_2n
=S_2n-S_n
=（2-$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$）-（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）
=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{{2}^{2n-1}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．