連接雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1與
y2
b2
-
x2
a2
=1的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為S1，連接它們的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為S2，則S1：S2的最大值是（　�。�
分析：根據(jù)對(duì)稱性，兩個(gè)四邊形的面積都可以分為四個(gè)全等的直角三角形的面積，兩個(gè)面積的比值用a，b表示出來(lái)，再根據(jù)基本不等式求最大值．
解答：解：設(shè)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的右頂點(diǎn)為A，其坐標(biāo)是（a，0），由焦點(diǎn)為C，坐標(biāo)為（
a2+b2
，0）；
設(shè)雙曲線
y2
b2
-
x2
a2
=1上頂點(diǎn)為B，坐標(biāo)為（0，b），上焦點(diǎn)為D，坐標(biāo)為（0，
a2+b2
）．O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
則S1=4S△OAB=2ab，S2=4S△OCD=2（a2+b2），
所以
S1
S2
=
ab
a2+b2
≤
ab
2ab
=
1
2
．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和使用基本不等式求最值，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)連接雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1與
y2
b2
-
x2
a2
=1(a＞0，b＞0)的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為S1，連接其4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形面積為S2，則
S1
S2
的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2004•寧波模擬）（文）如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是它的左、右焦點(diǎn)，P2P⊥F1F2，交雙曲線于P點(diǎn)，連接F1P交雙曲線于另一點(diǎn)Q，分別與雙曲線的漸近線交于A，B，且∠F1PF2=60°．
（1）求雙曲線的離心率；（2）求
|PQ|
|AB|
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：普陀區(qū)二模 題型：填空題

設(shè)連接雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1與
y2
b2
-
x2
a2
=1(a＞0，b＞0)的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為S1，連接其4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形面積為S2，則
S1
S2
的最大值為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：寧波模擬 題型：解答題

（文）如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是它的左、右焦點(diǎn)，P2P⊥F1F2，交雙曲線于P點(diǎn)，連接F1P交雙曲線于另一點(diǎn)Q，分別與雙曲線的漸近線交于A，B，且∠F1PF2=60°．
（1）求雙曲線的離心率；（2）求
|PQ|
|AB|
的值．

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