Question

（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.

已知的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線:上運(yùn)動(dòng)，

（1）. 求的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）. 若點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)， 且 ，點(diǎn)在上，且  ，

求點(diǎn)的軌跡方程；

（3）. 試研究: 是否存在一條邊所在直線的斜率為的正三角形，若存在，求出這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 【解】. 由得 所以,焦點(diǎn)坐標(biāo)為 　　　　　　　　……3分

                                                  

(2) 【解1】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,邊所在的方程為(顯然存在的),與拋物線交于                 

則得,                    ……5分

又點(diǎn)在拋物線上,故有,

   或(舍)

 -------①                                            ……7分

又的斜率為,則有  ,既代入①

故點(diǎn)軌跡為  (注:沒(méi)寫(xiě)扣1分)        ……9分

另解:由上式①過(guò)定點(diǎn), ,

所以, ,  既

【解2】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,方程為,由得方程為

,則得,  同理可得

方程為恒過(guò)定點(diǎn),

  ,

 所以, ,  既

(注:沒(méi)寫(xiě)扣1分)

（其他解法,可根據(jù)【解1】的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分）

(3) 【解1】

若存在邊所在直線的斜率為的正三角形,設(shè),

(其中不妨設(shè)),  則 ,    ------①  ……11分

令,則,即

將①代入得,,                                

   -----------------②                          ……13分

  線段的中點(diǎn)為,由①, ②得的橫坐標(biāo)為,

的縱坐標(biāo)為                  ……15分

又設(shè) 由得

                                                                  點(diǎn)在拋物線上,則,即,

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052412494720312528/SYS201205241252295937405138_DA.files/image064.png"> ,                                           ……18分

設(shè),

的三邊所在直線的斜率分別是

   ------①     ……12分

若邊所在直線的斜率為,邊所在直線和軸的正方向所成角為

,則,

所以                                          ……14分

即-----②    

又--------------③                             ……16分

所以,

將②, ③代入上式得邊長(zhǎng)                                       ……18分

（其他解法,可根據(jù)【解1】的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分）

 

【解析】略