Question

12．在正三棱錐V-ABC內(nèi)，有一個半球，其底面與正三棱錐的底面重合，且與正三棱錐的三個側面都相切，若半球的半徑為2，則正三棱錐的體積的最小時，其底面邊長為$6\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由于正三棱錐的側面為全等的等腰三角形，故側面與球的切點在棱錐的斜高上，利用等積法得出棱錐的高與棱錐底面邊長的關系，得出棱錐的體積關于高h的函數(shù)V（h），利用導數(shù)與函數(shù)的最值得關系計算V（h）的極小值點，然后轉化為底面邊長得答案．

解答 解：設△ABC的中心為O，取AB中點D，連結OD，VD，VO，
設OD=a，VO=h，則VD=$\sqrt{O{D}^{2}+V{O}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{h}^{2}}$．
AB=2AD=2$\sqrt{3}$a．
過O作OE⊥VD，則OE=2，
∴S_△VOD=$\frac{1}{2}$OD•VO=$\frac{1}{2}$VD•OE，
∴ah=2$\sqrt{{a}^{2}+{h}^{2}}$，整理得a²=$\sqrt{\frac{4{h}^{2}}{{h}^{2}-4}}$（h＞2）．
∴V（h）=$\frac{1}{3}$S_△ABC•h=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$（2\sqrt{3}）^{2}$a²h=$\sqrt{3}$a²h=$\frac{4\sqrt{3}{h}^{3}}{{h}^{2}-4}$．
∴V′（h）=4$\sqrt{3}$×$\frac{3{h}^{2}（{h}^{2}-4）-2{h}^{4}}{（{h}^{2}-4）^{2}}$=4$\sqrt{3}$×$\frac{{h}^{4}-12{h}^{2}}{（{h}^{2}-4）^{2}}$．
令V′（h）=0，得h²-12=0，解得h=2$\sqrt{3}$．
當2＜h＜2$\sqrt{3}$時，V′（h）＜0，當h＞2$\sqrt{3}$時，V′（h）＞0，
∴當h=2$\sqrt{3}$，即a=$\sqrt{6}$，也就是AB=$\frac{6}{\sqrt{3}}a=6\sqrt{2}$時，V（h）取得最小值．
故答案為：$6\sqrt{2}$．

點評 本題考查了球與外切多面體的關系，棱錐的體積計算，導數(shù)與函數(shù)的最值，屬于中檔題．