Question

（2012•綿陽(yáng)一模）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=2處的切線斜率為-

1

2

．
（I）求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）設(shè)g（x）=

x2+2kx+k

x

，對(duì)?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（III）證明：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*，n≥2）•

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′（2）=-

1

2

可求得a值，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）該問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解不等式f（x）_max＜g（x）_max，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．
（Ⅲ）要證明

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*，n≥2），只須證

2ln2

22

+

2ln3

32

+…+

2lnn

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

，即證

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

，由f（x）的最大值得到一不等式，以此對(duì)該不等式左邊各項(xiàng)進(jìn)行放縮求和即可．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
由已知得：f′（x）=

1

x

-a，f′（2）=

1

2

-a=-

1

2

，解得a=1．
于是f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f （x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)，
即f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．  
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，?x₁∈（0，+∞），f （x₁）≤f （1）=0，即f （x₁）的最大值為0，
由題意知：對(duì)?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（-∞，0）使得f （x₁）≤g（x₂）成立，
只須f （x）_max≤g（x）_max．
∵g（x）=

x2+2kx+k

x

=x+

k

x

+2k=-（-x+

k

-x

）+2k≤-2

k

+2k，∴只須-2

k

+2k≥0，解得k≥1．
故k的取值范圍[1，+∞）．
（Ⅲ）要證明：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*，n≥2）•
只須證

2ln2

22

+

2ln3

32

+…+

2lnn

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

，
即證

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

，
由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f （x）為減函數(shù)，
∴f （x）=lnx-x+1≤f（1）=0，即lnx≤x-1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，lnn²＜n²-1，

lnn2

n2

＜

n2-1

n2

=1-

1

n2

＜1-

1

n(n+1)

=1-

1

n

+

1

n+1

，

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜（1-

1

2

+

1

2+1

）+（1-

1

3

+

1

3+1

）+…+（1-

1

n

+

1

n+1

）
=n-1-

1

2

+

1

n+1

=

2n2-n-1

2(n+1)

，
∴

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、求最值、證明不等式，考查了分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想．