Question

已知單位向量

i

，

j

，

k

兩兩所成的夾角均為θ（0＜θ＜π，且θ≠

π

2

），若空間向量

a

滿足

a

=x

i

+y

j

+z

k

（x，y，z∈R），則有序實數(shù)對（x，y，z）稱為向量

a

在“仿射”坐標系Oxyz（O為坐標原點）下的“仿射”坐標，記作

a

=（x，y，z）_θ．有下列命題：
①已知

a

=（2，0，-1）_θ，

b

=（1，0，2）_θ，則

a

•

b

=0；
②已知

a

=(x，y，0)

π

3

，

b

=(0，0，z)

π

3

，其中xyz≠0，則當且僅當x=y時，向量

a

•

b

的夾角取得最小值；
③已知

a

=（x₁，y₁，z₁）_θ，

b

=（x₂，y₂，z₂）_θ，則

a

-

b

=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)θ；
④已知

OA

=(1，0，0)

π

3

，

OB

=(0，1，0)

π

3

，

OC

=(0，0，1)

π

3

，則三棱錐O-ABC體積為V=

2

12

．
其中真命題有

 

（填寫真命題的所有序號）．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：新定義,空間位置關系與距離

分析：理解仿射坐標的概念，利用空間向量的共線定理及數(shù)量積運算即可求解．

解答： 解：①若

a

=（2，0，-1）

o

，

b

=（1，0，2）

o

，則

a

•

b

=（2

i

-

k

）•（

i

+2

k

）=2+3

i

•

k

-2=3cosθ，
∵0＜θ＜π，且θ≠

π

2

，∴

a

•

b

≠0；
②

a

=(x，y，0)

π

3

，

b

=(0，0，z)

π

3

，其中xyz≠0，向量

a

•

b

的夾角取得最小值，兩向量同向
存在實數(shù)λ＞0，滿足

a

=λ

b

，根據仿射坐標的定義，易知②為假命題；
③已知

a

=（x₁，y₁，z₁）_θ，

b

=（x₂，y₂，z₂）_θ，則

a

-

b

=（x₁-x₂）

i

+（y₁-y₂）

j

+（z₁-z₂）

k

，
∴

a

-

b

=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)θ；
④已知

OA

=(1，0，0)

π

3

，

OB

=(0，1，0)

π

3

，

OC

=(0，0，1)

π

3

，則三棱錐O-ABC為正四面體，棱長為1，∴體積為V=

2

12

．
故答案為：③④．

點評：本題主要考察了向量的相關概念，綜合性較強，屬于中檔題．