Question

12．某市工業(yè)部門計劃對所轄中小型工業(yè)企業(yè)推行節(jié)能降耗技術(shù)改造，對所轄企業(yè)是否支持改造進(jìn)行問卷調(diào)查，結(jié)果如表：

	支持	不支持	合計
中型企業(yè)	60	30	90
小型企業(yè)	120	100	220
合計	180	130	310

（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.050的前提下認(rèn)為“是否支持節(jié)能降耗技術(shù)改造與企業(yè)規(guī)模有關(guān)”？
（2）從180家支持節(jié)能降耗改造的企業(yè)抽出12家，其中中、小型企業(yè)分別為4家和8家，然后從這12家中選出9家進(jìn)行獎勵，分別獎勵中、小型企業(yè)每家50萬元、10萬元，記9家企業(yè)所獲獎勵總數(shù)為X萬元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d

P（K2≥k）	0.050	0.025	0.010
k	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計算K²，對照臨界值得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意知隨機(jī)變量X的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，
寫出隨機(jī)變量X的分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算
K²=$\frac{310{×（60×100-30×120）}^{2}}{90×220×180×130}$≈3.854，
因?yàn)?.854＞3.841，
所以能在犯錯誤的概率不超過0.050的前提下，
認(rèn)為“是否支持節(jié)能降耗技術(shù)改造與企業(yè)規(guī)模有關(guān)”；
（2）設(shè)9家獲得獎勵的企業(yè)中，中、小型企業(yè)分別為m家和n家，
則（m，n）可能為（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）；
與之對應(yīng)X的可能取值為130，170，210，250；
計算P（X=130）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{8}^{8}}{{C}_{12}^{9}}$=$\frac{1}{55}$，
P（X=170）=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{8}^{7}}{{C}_{12}^{9}}$=$\frac{12}{55}$，
P（X=210）=$\frac{{C}_{4}^{3}{•C}_{8}^{6}}{{C}_{12}^{9}}$=$\frac{28}{55}$，
P（X=250）=$\frac{{C}_{4}^{4}{•C}_{8}^{5}}{{C}_{12}^{9}}$=$\frac{14}{55}$；
則隨機(jī)變量X的分布列如下：

X	130	170	210	250
P	$\frac{1}{55}$	$\frac{12}{55}$	$\frac{28}{55}$	$\frac{14}{55}$

數(shù)學(xué)期望為E（X）=130×$\frac{1}{55}$+170×$\frac{12}{55}$+210×$\frac{28}{55}$+250×$\frac{14}{55}$=210．

點(diǎn)評 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是中檔題．