Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）；
（1）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n-3a_n-1（n≥2），求數(shù)列{b_n}的通項公式b_n；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）根據(jù)遞推數(shù)列，構(gòu)造數(shù)列，利用等比數(shù)列的定義和通項公式即可，即可求數(shù)列{b_n}的通項公式b_n；
（2）利用遞推數(shù)列，構(gòu)成一個新的等比數(shù)列，兩式聯(lián)立即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）；
∴a_n-3a_n-1=-（a_n-1-3a_n-2），
即{a_n-3a_n-1}是公比q=-1的等比數(shù)列，首項a₂-3a₁=2-15=-13，
即{b_n}的通項公式b_n=-13×（-1）^n-1．
（2）∵a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）；
∴a_n+a_n-1=3a_n-1+3a_n-2=3（a_n-1+a_n-2），
即{a_n+a_n-1}是公比前=3的等比數(shù)列，首項a₂+a₁=5+2=7，
∴a_n+a_n-1=7×3^n-1，①
由（1）得a_n-3a_n-1=-13×（-1）^n-1．②，
①×3+①得，
4a_n=3×7×3^n-1-13×（-1）^n-1．
即a_n=

1

4

[7×3ⁿ+13×（-1）ⁿ]．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法，利用遞推數(shù)列進行構(gòu)造兩個等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，運算量較大．