Question

已知實(shí)數(shù)k∈R，且k≠0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=

k•ex

ex+1

，g（x）=f（x）-x．
（1）如果函數(shù)g（x）在R上為減函數(shù)，求k的取值范圍；
（2）如果k∈（0，4]，求證：方程g（x）=0有且有一個(gè)根x=x₀；且當(dāng)x＞x₀時(shí)，有x＞f（f（x））成立；
（3）定義：①對(duì)于閉區(qū)間[s，t]，稱差值t-s為區(qū)間[s，t]的長(zhǎng)度；②對(duì)于函數(shù)g（x），如果對(duì)任意x₁，x₂∈[s，t]⊆D（D為函數(shù)g（x）的定義域），記h=|g（x₂）-g（x₁）|，h的最大值稱為函數(shù)g（x）在區(qū)間[s，t]上的“身高”．問：如果k∈（0，4]，函數(shù)g（x）在哪個(gè)長(zhǎng)度為2的閉區(qū)間上“身高”最“矮”？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)g（x）在R上為減函數(shù)，可知g′（x）≤0，即k≤

(ex+1)2

ex

，根據(jù)基本不等式求出

(ex+1)2

ex

≥4，即可確定k的取值范圍；
（2）由g（x）在R上為減函數(shù)，g（0）=

k

1+1

-0=

k

2

＞0，g（4）＜0，易得g（x）=0有且只有一個(gè)根x=x₀．當(dāng)x＞x₀時(shí)，有g(shù)（x）＜g（x₀）=0．即f（x）-x＜0，從而x＞f（x），又f（x）=

k•ex

ex+1

=

k

1+( 1 e )x

為增函數(shù)，f（x）＞f（f（x）），所以x＞f（f（x））成立；
（3）利用新定義得出x₁，x₂∈[t-2，t]，且x₁＜x₂時(shí)，h=|g（x₂）-g（x₁）|=2-k•

e-1

e+1

．當(dāng)且僅當(dāng)et=

e2

et

，即t=1時(shí)，h_min=2-k•

e-1

e+1

．
從而函數(shù)g（x）在長(zhǎng)度為2的閉區(qū)間[-1，1]上“身高”最“矮”．

解答： 解：（1）∵g（x）=f（x）-x=

k•ex

ex+1

-x在R上為減函數(shù)，
∴g′(x)=

kex(ex+1)-kex•ex

(ex+1)2

-1=

kex

(ex+1)2

-1≤0恒成立．
即k≤

(ex+1)2

ex

恒成立．
∵

(ex+1)2

ex

=ex+

1

ex

+2≥2+2=4．
當(dāng)且僅當(dāng)ex=

1

ex

，即x=0時(shí)，

(ex+1)2

ex

的最小值為4．
又由k≠0，
∴k的取值范圍為（-∞，0）∪（0，4]．
（2）由（1）知，
k∈（0，4]時(shí)，g（x）在R上為減函數(shù)．
又g（0）=

k

1+1

-0=

k

2

＞0，
g（4）=

k•e4

e4+1

-4=

ke4-4e4-4

e4+1

=

(k-4)e4-4

e4+1

，
∵k≤4，
∴（k-4）e⁴-4＜0，
∴g（4）＜0．
∴g（x）=0在（0，4）上有一個(gè)根x=x₀．
又g（x）在R上為減函數(shù)，
∴g（x）=0有且只有一個(gè)根x=x₀．
∴當(dāng)x＞x₀時(shí)，有g(shù)（x）＜g（x₀）=0．
即f（x）-x＜0，
∴x＞f（x）．①
又∵f（x）=

k•ex

ex+1

=

k

1+( 1 e )x

為增函數(shù)，
∴f（x）＞f（f（x））②．
由①②得，x＞f（f（x））成立．
（3）設(shè)x₁，x₂∈[t-2，t]，且x₁＜x₂，
由（1）知，k∈（0，4]時(shí)g（x）在R上為減函數(shù)，
∴h=|g（x₂）-g（x₁）|=g（x₁）-g（x₂）
≤g（t-2）-g（t）
=[f（t-2）-t-2]-[f（t）-t]
=f（t-2）-f（t）+2
=

k•et-2

et-2+1

-

k•et

et+1

+2
=k[

et

et+e2

-

et

et+1

]+2
=k•et•

1-e2

(et+e2)(et+1)

+2
=2-

k(e2-1)

et+ e2 et +(e2+1)

≥2-

k(e2-1)

2 et• e2 et +(e2+1)

=2-k•

e-1

e+1

．
其中k（e²-1）＞0，當(dāng)且僅當(dāng)et=

e2

et

，即t=1時(shí)，h_min=2-k•

e-1

e+1

．
∴函數(shù)g（x）在長(zhǎng)度為2的閉區(qū)間[-1，1]上“身高”最“矮”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，基本不等式以及新定義問題的處理技巧和基本運(yùn)算能力，屬于難題．