Question

已知圓C₁的方程為（x-4）²+（y-1）²=，橢圓C₂的方程為，其離心率為，如果C₁與C₂相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C₁的直徑．
（Ⅰ）求直線AB的方程和橢圓C₂的方程；
（Ⅱ）如果橢圓C₂的左右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，橢圓上是否存在點(diǎn)P，使得，如果存在，請(qǐng)求點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先分析得出若直線AB斜率存在，所以可設(shè)AB直線方程為y-1=k（x-4），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得b值，從而求出所求橢圓方程；
（Ⅱ）先依據(jù)F₁，F(xiàn)₂的中點(diǎn)是原點(diǎn)O，得出與共線，再根據(jù)直線AB的方程寫出直線PO所在的直線方程，最后與橢圓的方程聯(lián)立方程組即可解得P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（Ⅰ）若直線AB斜率不存在，則直線AB的方程為x=4，由橢圓的對(duì)稱性可知，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，A，B的中點(diǎn)為（4，0），又線段AB恰為圓C₁的直徑，則圓心為（4，0），這與已知圓心為（4，1）矛盾，
因此直線AB斜率存在，（1分）
所以可設(shè)AB直線方程為y-1=k（x-4），且設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵，∴
設(shè)橢圓方程，（2分）
將AB直線方程為y-1=k（x-4）代入到橢圓方程得，
即（1+4k²）x²-8k（4k-1）x+4（4k-1）²-4b²=0（1），（4分）
，
解得k=-1，
故直線AB的方程為y=-x+5，（6分）
將k=-1代入方程（1）得5x²-40x+100-4b²=0．x₁+x₂=8，，△＞0，得b²＞5．（7分）
|AB|=，得，解得b²=9．
故所求橢圓方程為．（8分）
（Ⅱ）因?yàn)镕₁，F(xiàn)₂的中點(diǎn)是原點(diǎn)O，
所以，所以與共線，（10分），
而直線AB的方程為y=-x+5，
所以直線PO所在的直線方程為y=-x．
∴，或．
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查圓與圓錐曲線的綜合、直線的一般式方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．