Question

（2013•虹口區(qū)二模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，向量

m

=(2sinB，2cosB)，

n

=(

3

cosB，-cosB)，且

m

•

n

=1．
（1）求角B；
（2）若a，b，c成等差數列，且b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據向量數量積的運算公式，結合三角恒等變換公式化簡整理，得sin(2B-

π

6

)=1，再由0＜B＜π，解此方程可得角B的大��；
（2）根據余弦定理，建立關于a、c的方程并化簡得4=a²+c²-ac，而a、b、c成等差數列得a+c=2b=4，代入前面的式子解出a=c=2，從而得到△ABC是等邊三角形，由此不難得到△ABC的面積．

解答：解：（1）∵向量

m

=(2sinB，2cosB)，

n

=(

3

cosB，-cosB)，且

m

•

n

=1，
∴2sinB•

3

cosB-2cos2B=1，
化簡得

3

sin2B-cos2B=2，可得sin(2B-

π

6

)=1，…（5分）
又0＜B＜π，得-

π

6

＜2B-

π

6

＜

11π

6

，
∴2B-

π

6

=

π

2

，解之得B=

π

3

…（7分）
（2）∵a，b，c成等差數列，b=2，∴a+c=2b=4．
又∵b²=a²+c²-2ac•cosB，
∴4=a2+c2-2ac•cos

π

3

，即4=a²+c²-ac…（10分）
將a+c=4代入，得a²-4a+4=0，得a=2，
從而c=2，三角形為等邊三角形．…（12分）
因此，△ABC的面積S =

1

2

acsinB=

3

．…（14分）

點評：本題給出向量含有三角函數式的坐標，在已知數量積的情況下求△ABC中角B的大小，并依此求△ABC的面積．著重考查了三角恒等變換公式、向量的數量積坐標公式和正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．