Question

設(shè)函數(shù)
（1）設(shè)，，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（2）設(shè)為偶數(shù)，，，求的最小值和最大值；
（3）設(shè)，若對任意，有，求的取值范圍；

Answer 1

（1）在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn).
（2）（3）。

試題分析：（1）由，，得 
對恒成立，從而在單調(diào)遞增，
又，，
即在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn).       分
（2）因為 
 由線性規(guī)劃
（或，）  分
（3）當(dāng)時，
（Ⅰ）當(dāng)或時，即或，此時
只需滿足，從而
（Ⅱ）當(dāng)時，即，此時
只需滿足，即
解得：，從而
（Ⅲ）當(dāng)時，即，此時
只需滿足，即
解得：，從而
綜上所述：    分
點(diǎn)評：綜合題，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大。確定方程只有一個實根，通過構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性實現(xiàn)。由，確定得到，進(jìn)一步得到，求得b的范圍。